Section: New Results

Algèbre linéaire max-plus, convexité tropicale et jeux à somme nulle/Max-plus linear algebra, tropical convity and zero-sum games

Polyèdres tropicaux/Tropical polyhedra

Participants : Xavier Allamigeon, Stéphane Gaubert, Eric Goubault [CEA] , Ricardo Katz [Conicet, Argentine] .

On étudie les analogues max-plus ou tropicaux des ensembles convexes. Ceux-ci sont utiles en particulier pour représenter de manière effective les ensembles d'états accessibles de systèmes à événements discrets [9] , ils sont aussi apparus récemment en géométrie tropicale, dans toute une série de travaux à la suite de Sturmfels et Develin  [108] . Les polyèdres max-plus peuvent aussi être vus comme des limites de déformations de polyèdres classiques, sur lesquels ils donnent un éclairage de nature combinatoire. Toutes ces motivations ont inspiré la recherche d'analogues des résultats fondamentaux d'analyse convexe classique: séparation, projection, points extrémaux, à la suite en particulier de [8] .

Dans un travail de X. Allamigeon, S. Gaubert, et E. Goubault  [71] ,  [72] , on a mis en évidence un critère combinatoire pour la caractérisation des sommets des polyèdres tropicalement convexes. Celui-ci s'exprime à l'aide d'hypergraphes orientés, et de leurs composantes fortement connexes. Ce critère possède la propriété d'être vérifiable en un temps presque linéaire en la taille de l'hypergraphe.

On en déduit un analogue tropical de la méthode de la double description  [72] (méthode très utilisée sur les polyèdres classiques, et dûe à Motzkin et al.  [160] ). Cet algorithme permet de calculer les sommets d'un polyèdre défini de façon externe (intersection de demi-espaces ou d'hyperplans tropicaux). Grâce au critère combinatoire précédent, l'algorithme améliore de plusieurs ordres de grandeur les techniques connues jusqu'alors. Ceci est confirmé par de nombreuses expérimentations. Ce travail est motivé par des applications à l'analyse statique  [70] et aux systèmes à événements discrets  [113] , dans lesquelles la manipulation de tels polyèdres est le goulot d'étranglement.

Il est connu qu'un polyèdre tropical peut être représenté comme l'enveloppe convexe d'un ensemble minimal de points et rayons, donnés par ses sommets et ses rayons extrêmes  [124] . Dans un travail réalisé par X. Allamigeon et R. Katz  [75] , et effectué en partie lors de visites de R. Katz à Inria, on étudie la question duale de la caractérisation des représentations minimales par demi-espaces. On montre qu'un polyèdre tropical possède essentiellement une unique représentation minimale par demi-espaces, lorsque leurs apex appartiennent au polyèdre. On montre que les apex de ces demi-espaces non-redondants correspondent à certains sommets du complexe tropical introduit par Develin et Sturmfels  [108] . On introduit également un critère combinatoire pour l'élimination de demi-espaces redondants à l'aide d'hypergraphes orientés.

Dans un travail de X. Allamigeon et R. Katz [52] , nous étudions la tropicalisation des représentations par demi-espaces des polyèdres convexes sur le corps des séries de Puiseux. Nous démontrons ainsi une conjecture de Develin et Yu  [109] . Celle-ci assure qu'étant donné un polytope tropical pur, il existe un polytope relevé sur les séries de Puiseux, dont les demi-espaces associés aux faces se “tropicalisent” en une représentation par demi-espaces du polytope tropical initial.

Des applications de ces travaux à l'algorithmique, concernant en particulier les jeux répétés, sont discutées dans la Section  6.5.2 . Une application aux systèmes temps réel est discutée dans la Section  6.6.4 .

English version

We study the max-plus or tropical analogues of convex sets. These have been used in particular to represent effectively the accessible sets of certain discrete event systems [9] . They also appeared in tropical geometry, following the work of Sturmfels and Develin  [108] . Max-plus polyhedra can be thought of as limits of deformations of classical polyhedra, on which they give a combinatorial insight. These motivations have inspired the investigation of analogues of basic results of classical convex analysis: separation, projection, representation by extreme points, following [8] .

In a work of X. Allamigeon, S. Gaubert, and E. Goubault  [72] , we introduce a combinatorial criterion for the characterization of the vertices of tropically convex polyhedra. It is expressed in terms of directed hypergraphs and their strongly connected components. This criterion can be verified in almost linear time in the size of the hypergraph.

This allows to develop a tropical analogue of the double description method  [72] (this method is widely used for classical convex polyhedra, and is due to Motzkin et al.  [160] ). This algorithm is able to determine all the vertices of a polyhedron defined externally (intersection of tropical half-spaces of hyperplanes). Thanks to the combinatorial criterion mentioned above, the algorithm improves the existing methods by several orders of magnitude. This is confirmed by several experiments. This is motivated by applications to static analysis  [70] and discrete event systems  [113] , in which computing such polyhedra turns out to be the bottleneck.

It is well-known that a tropical polyhedron can be represented as the convex hull of a minimal set of points and rays, provided by its vertices and extreme rays  [124] . In a work of X. Allamigeon and R. Katz  [75] , partly done during visits of R. Katz at Inria, the dual problem of characterizing the minimal representations by half-spaces is studied. We show that a tropical polyhedron admits essentially a unique minimal external representation by half-spaces, provided that their apices belong to the polyhedron. We prove that the apices of these half-spaces correspond to certain vertices of the tropical complex introduced by Develin and Sturmfels  [108] . We also establish a combinatorial criterion allowing to eliminate redundant half-spaces using directed hypergraphs.

In a work of X. Allamigeon and R. Katz [52] , we study the tropicalization of the representation by half-spaces of convex polyhedra over the field of Puiseux series. In particular, we prove a conjecture of Develin and Yu  [109] . It states that, given a pure tropical polytope, there exists a lifting polytope over Puiseux series, such that the facet-defining half-spaces are “tropicalized” into a representation by half-spaces of the initial polytope.

Some algorithmic applications of this work concerning in particular mean payoff games, will be discussed in Section  6.5.2 . Applications to real time systems will be discussed in Section  6.6.4 .

Systèmes linéaires max-plus/Max-plus linear systems

Participants : Marianne Akian, Stéphane Gaubert, Alexander Guterman [Moscow State University] .

Dans [42] , on montre des formules de Cramer pour des systèmes linéaires sur diverses extensions du semi-anneau max-plus. Les éléments de ces extensions sont des nombres tropicaux enrichis d'une information de multiplicité, de signe ou d'angle par exemple. On obtient ainsi des résultats d'existence et d'unicité qui généralisent plusieurs résultats de  [133] , [164] , [120] , [172] , [139] . De plus, pour certaines extensions du semi-anneau max-plus, les preuves fournissent des algorithmes de type Jacobi ou Gauss-Seidel pour résoudre les systèmes linéaires.

Nous nous intéressons maintenant à la complexité de la solution de systèmes linéaires tropicaux signés, i.e. de systèmes sur l'extension du semi-anneau max-plus avec signes, ou d'hyperplans sur ce semi-anneau.

English version

In [42] , we prove general Cramer type theorems for linear systems over various extensions of the tropical semiring, in which tropical numbers are enriched with an information of multiplicity, sign, or argument. We obtain existence or uniqueness results, which extend or refine earlier results in  [133] , [164] , [120] , [172] , [139] . Moreover, some of our proofs lead to Jacobi and Gauss-Seidel type algorithms to solve linear systems in suitably extended tropical semirings.

We study now the complexity of the solution of signed tropical linear systems, that is systems on the extension of the tropical semiring with signs, or the one of the nonemptyness of hyperplanes over this semiring.

Convexes tropicaux et théorème de Choquet/Tropical convex sets and Choquet theorem

Participants : Marianne Akian, Stéphane Gaubert, Paul Poncet.

La thèse de Paul Poncet  [165] concernait essentiellement ce que l'on appelle l'analyse idempotente, c'est-à dire l'étude des espaces fonctionnels ou linéaires de dimension infinie sur l'algèbre tropicale, ou tout autre semi-anneau idempotent. Paul Poncet a développé pour cela un point de vue treillis continus comme dans [1] , ou plus généralement domaines. Depuis la soutenance, plusieurs articles issus du manuscrit de thèse sont publiés [21] , [20] ou en cours de soumission, et d'autres travaux pousuivant ceux de la thèse sont en cours avec les membres de l'équipe.

En particulier avec ce point de vue domaines, Paul Poncet a pu établir des théorèmes de type Krein-Milman, réciproque de Milman, et représentation de Choquet dans les semi-treillis [20] ou l'algèbre max-plus [38] .

On sait que les résultats sur les convexes tropicaux de dimension infinie de  [165] permettent de retrouver partiellement les résultats sur la frontière de Martin max-plus décrits dans la section  6.2.1 . Dans un travail commun avec Klaus Keimel (TU-Darmstadt), nous essayons d'obtenir l'extension du théorème de représentation de Choquet tropical dans le cas d'ensembles ordonnés qui ne sont pas forcément des treillis tels que le cône des matrices symmetriques positives muni de l'ordre de Loewner.

English version

The PhD thesis work of Paul Poncet  [165] concerned essentially what is called idempotent analysis, that is the study of infinite dimensional functional or linear spaces over tropical algebra, or any other idempotent semiring. For this aim, Paul Poncet developped the point of view of continuous lattices, as in [1] , or more generally of domains. Since the defense of his thesis, several papers derived from the thesis manuscript have been published [21] , [20] or up to be submitted. Some other works pursuing the thesis work are done with team members.

In particular, using the point of view of domains, Paul Poncet showed results such as a Krein-Milman type theorem, a Milman converse type theorem, and a Choquet representation type theorem over semilattices [20] or over max-plus algebra [38] .

We know that the results on infinite dimensional tropical convex sets of  [165] allow one to recover at least partially the results on max-plus Martin boundaries described in Section  6.2.1 . In a joint work with Klaus Keimel (TU-Darmstadt), we try to obtain the extension of the max-plus Choquet representation theorem in the case of ordered sets that are not necessarily semilattices, such as the cone of nonnegative symmetric matrices endowed with the Loewner order.

Points fixes d'applications monotones homogènes et jeux à somme nulle/Fixed points of order preserving homogeneous maps and zero-sum games

Participants : Marianne Akian, Stéphane Gaubert, Antoine Hochart.

Pour les jeux répétés à somme nulle, un problème de base est de savoir si le paiement moyen par unité de temps est indépendant de l'état initial. Ici, on définit le paiement moyen directement au moyen de l'opérateur de Shapley (ou de la programmation dynamique) du jeu, lequel préserve l'ordre et commute avec l'addition d'une constante. Dans le cas particulier des jeux à zero joueur, i.e. de chaînes de Markov avec fonctionnelle additive, la solution du problème ci-dessus est fournie par le théorème ergodique. Dans [46] , on généralise ce résultat au cas des jeux répétés à espace d'états fini. Cette généralisation est basée sur l'étude de la sous-classe d'opérateurs de Shapley sans-paiement (le paiement a lieu seulement le dernier jour), lesquels commutent avec la multiplication par une constante positive. L'intérêt de cette sous-classe est qu'elle inclue la fonction de récession d'un opérateur de Shapley, lorsqu'elle existe. Nous montrons que le paiement moyen est indépendant de l'état initial pour toutes les perturbations des paiements instantannés dépendantes de l'état si, et seulement si, une condition d'ergodicité est vérifiée. Cette dernière est caractérisée par l'unicité, à constante additive près, du point fixe de la fonction de récession de l'opérateur de Shapley, ou, dans le cas particulier des jeux stochastiques à nombre fini d'actions et information parfaite, par une condition d'accessibilité dans un hypergraphe orienté, entre deux sous-ensembles conjugués d'états. On montre aussi que l'ergodicité d'un jeu ne dépend que de la probabilité de transition et qu'elle peut être vérifiée en temps polynomial lorsque le nombre d'états est fixé.

Lorsque un jeu est ergodique au sens ci-dessus, son paiement moyen est indépendant de l'état initial, et il coincide avec la valeur propre non linéaire de l'opérateur de Shapley. De plus, le vecteur propre associé, appelé biais, permet de déterminer les stratégies stationnaires optimales. Un autre problème est alors de comprendre pour quelles classes de jeux, le biais est unique (à constante additive près). Dans [25] , on considère des jeux avec un nombre fini d'états et d'actions, de paiements instantannés variables, mais de probabilités de transition fixées. On montre que le vecteur de biais, considéré comme une fonction des paiements instantannés, est unique génériquement (à constante additive près).

English version

A basic question for zero-sum repeated games consists in determining whether the mean payoff per time unit is independent of the initial state. Here the mean payoff is defined in terms of the Shapley operator (dynamic programming operator) of the game, which is an order preserving map commuting with the addition of a constant. In the special case of “zero-player” games, i.e., of Markov chains equipped with additive functionals, the answer to the above question is provided by the mean ergodic theorem. In [46] , we generalize this result to repeated games with a finite state space. This generalization is based on the study of the subclass of payment-free Shapley operators (the payment only occurs when the game stops), which are commuting with the multiplication by a positive constant, and which include the recession function of any Shapley operator, when it exists. We show that the mean payoff is independent of the initial state for all state-dependent perturbations of the rewards if and only if an ergodicity condition is satisfied. The latter is characterized by the uniqueness modulo additive constants of the fixed point of the recession function of the Shapley operator, or, in the special case of stochastic games with finite action spaces and perfect information, by a reachability condition involving conjugate subsets of states in directed hypergraphs. We show that the ergodicity condition for games only depends on the support of the transition probability and that it can be checked in polynomial time when the number of states is fixed.

Under the above ergodicity condition, the mean payoff of the game is independent of the initial state, and it is characterized as the nonlinear eigenvalue of the Shapley operator. Moreover, the associated eigenvector, also called the bias, allows one to determine optimal stationary strategies. Then, another basic question is to understand for which classes of games the bias vector is unique (up to an additive constant). In [25] , we consider games with finite state and action spaces, thinking of the transition payments as variable parameters, transition probabilities being fixed. We show that the bias vector, thought of as a function of the transition payments, is generically unique (up to an additive constant).